Abstract algebra

1.      Find g.c.d, l.c.m and x,y such that d= ax+by, d=(a,b) where

i)        a= 322 and b=770

Solution:

              770 = 2´322+126

              322 = 2´126+70

              126 = 1´70+56

                70 = 1´56+14

                56 = 4´14+0

Hence g.c.d =d(770,322)=14

         Again

                  dl=ab

                 14´l= 770´322

                 \ l = 17710.

Now for x and y

      126= 770-2´322

      70= 322-2´126

           = 322-2´(770-2´322)

           = 1´322-2´770+4´322

           = 5´322-2´770

       56= 126-1´70

           = 770-2´322-1´(5´322-2´770)

           = 770-2´322-5´322+2´770

           = 3´770-7´322

       14= 70-1´56

           = 5´322-2´770-1´(3´770-7´322)

           = 5´322-2´770-3´770+7´322

           =-5´770+12´322  

\ x = -5 and y= 12.

ii)      a= 11+7i and b= 3+7i in Z(i) where 

Solution:

      11+7i= (1-i)´(3+7i)+(1+3i)………..(1)

      3+7i = (2-i)´(1+3i)+2i-2…………(2)

      1+3i = (1-i)´(2i-2)+(i-1)………….(3)

      2i-2 = 2´(i-1)+0

Hence g.c.d = d(11+7i,3+7i) = i-1

And we know

For x and y

1+3i= (11+7i)- (1-i)´(3+7i)     [ from(1)]

(2i-2)(1-i)= (1+3i)-(i-1)            [ from(3)]

Multiply (1) by 2-i

Then (11+7i)(2-i)= {(1-i)´(3+7i)+(1+3i)}(2-i)

     Or, (11+7i)(2-i)= (1-i)(2-i)´(3+7i)+(1+3i)(2-i)

     Or, (11+7i)(2-i)= (2-i-2i-1)(3+7i)+(1+3i)(2-i)

     Or, (11+7i)(2-i)= (1-3i)(3+7i)+(1+3i)(2-i)

     Or, (1+3i)(2-i)= (11+7i)(2-i)- (1-3i)(3+7i)………….(4)

Multiplying (2) by (1-i)

(3+7i)(1-i) = (2-i)(1-i)´(1+3i)+(2i-2)(1-i)

                  = (1-i)´(1+3i)(2-i)+ (1+3i)-(i-1)

(i-1) = (1-i){(11+7i)(2-i)- (1-3i)(3+7i)}+ (11+7i)- (1-i)´(3+7i)-(1-i)(3+7i)  [ from(1),(3)&(4)]

 =[(1-i) (2-i)+1](11+7i)-[(1-i)(1-3i)+(1-i)+(1-i)] (3+7i)

= (2-i-2i-1+1) (11+7i) -[1-3i-i-3+2-2i] (3+7i)

= (2-3i) (11+7i)- (-6i) (3+7i)

= (2-3i) (11+7i)+6i (3+7i)

Hence x = 2-3i

             Y = 6i

1.      Find the multiplicative inverse of  

       where a = 17.

Solution:

        Here a=17, n= 27

    Now 27= 1´17+10

             17= 1´10+7

             10= 1´7+3

               7= 2´3+1

Now 10=27-1´17

           7= 17-1´10

             = 17-1´(27-1´17)

             = 17-1´27+1´17

             = 2´17-1´27

         3= 10-1´7

           = 27-1´17-1´( 2´17-1´27)

           = 27-1´17-2´17+1´27

           = 2´27-3´17

         1= 7-2´3 

           = 2´17-1´27-2´( 2´27-3´17)

           = 2´17-1´27-4´27+6´17

           = 8´17-5´27

       

   Hence, Multiplicative inverse of  

1.       Compute the remainder when 3⁵⁰ is divided by 37.

Solution:       We know 34 º 7mod37                           38 º 12mod37                          316º 33mod37                          332º 16mod37    So 38.332 = 340º 7mod37    Again,                    35º 21mod37                    310º 34mod37 So 350=340.310º 16mod 37 Hence the remainder is 16.

Rough part 34=81,       37)81(2                            74                              7 72=49,        37)49(1                             37                             12 122=144,  37)144(3                            111                              33 332=1089, 37)1089(29          74          349          333            16

12´16=192 37)192(5        185            7 35=243 37)243(6        222           21 212=441 37)441(11        37           71           37           34 Lastly 34´7=238 37)238(6      222        16 is the ans.

2.      Does the set of all matrices of the form G=,  R under matrices multiplication form a group? Justify your answer.

Solution:

i)        Closure property

        Let A= and B= for all  R

Now AB=  

           

  =

  =

ii)      Associative property

  Let A= ,B= and C= 

Then A(BC)=

                    = 

                    =  

Again

        (AB)C=

                  =

                  =

Hence A(BC)= (AB)C

iii)    Exixtence of identity

For all  and A=there exist  i.e I= = such that

AI=A

iv)    Existence of inverse

For all A= there exist A^-I=  = ==

Such that A.A^-I=I

Hence it forms a group under matrix multiplication.

3.      Prove that the set G=Q-{1} is a group under binary operation * defined by a*b = a+b-ab for all a,b G.

Solution:

i)        Closure law :

                For all a,bÎG , a*b=a+b-abÎG

ii)      Associative property

                   For all a,b,cÎG, a*(b*c)=a*(b+c-bc)=a+(b+c-bc)-a(b+c-bc)=a+b+c-bc-ab-ac+abc

                                                (a*b)*c= (a+b-ab)*c= (a+b-ab)+c-(a+b-ab).c= a+b-ab+c-ac-bc+abc

So a*(b*c)= (a*b)*c

iii)    Existence of Identity

                 For all aÎG $ eÎG such that a*e=a

                                                                 or, a+e-ae=a

                                                                 or, e(1-a)=0

                                                          either e=0 or a=1 but a1

             so e=0 ÎG.

iv)    Existence of inverse

                For all aÎG $ bÎG such that a*b=e=0

                                                                  a+b-ab=0

                                                                   b(1-a)=-a

                                                                    \b= ÎG

Hence it forms a group under * operation.

Exercise 1.1

1.      If A={1,2,3,4,5}, whether 3,5 and 8 are the members of the set A or not, write with set notation symbols.

Þ 3ÎA, 5ÎA, 8ÏA

2.      A set of odd numbers between 0 and 10. Express it in listing method  and set builder method.

Þ In listing method

      {1,3,5,7,9}

      In set builder method

      {x:xis a odd number, x<10}

3.      If Z= {x:x is an integer, -1£x£1}, express it in description method and listing method.

Þ in description method

     Z is a set of integer more than +ve 1 and less than –ve 1.

     In listing method

     Z= {-1,0,1}

4.      State whether the following sets are null, unit, finite or infinite sets

a)      The set of the highest peak of mountain Þ unit

b)      The set of whole numbers more than 10 Þ infinite

c)      The set of whole numbers between 10 and 100 Þ finite

d)      The set of prime numbers between 14 and 16 Þ null

** Prime numbers are that numbers whose factor is only 1.

5.      If A = {x:x+1£5,xÎW}, find n (A)

Þ here x+1£5

          or,x£5-1

          or, x£4

         i.e A= {0,1,2,3,4}

so n (A) = 5

6.      Whether the sets P = {3,6,9,12} and Q= {1,3,5,7} are equal or equivalent ? Write with reason.

Þ They are equivalent because they have not all same element but same cardinal number.

7.      State whether the sets X = {2,4,6,8} and Y= {6,4,2,8} are equal or equivalent ? Give reason.

Þ They are equal because they have all same elements but just order is different and it have same cardinal number.

8.      State whether the sets A= {a,b,c,d,e} and B= {a,e,i,o,u} are  overlapping or disjoint ? Write with reason.

Þ They are overlapping because they have common elements ‘a’ and ‘e’.

9.      State whether the sets Z= {-2,-1,0,1,2} and N= {3,4,5,6} are overlapping or disjoint ?

Þ They are disjoint because they have no common point.

10. If U= {1,2,3,………15}, A= {1,3,5,7,9}, B= {1,2,3,……15} and C= {4,8,12,16}, answer the following questions.

a.      Is A the subset of U? Give reason.

Þ yes A is the subset of U because U contain every element of A.

b.      Is B the proper subset of U? Give reason.

Þ no because B=A.

c.       Is CÍU? Give reason.

Þ No because one element i.e. 16 is not contained by U.

11. Write the possible subsets of the set A = {3,6,9}

Þ {3},{6},{9},{3,6},{6,9},{3,9},{3,6,9},f

12. What can be the universal sets from which the following subsets can be formed ?

a.      The set of cricket team of a school.Þ the set of student of a school.

b.      The set of literate women of a village.Þ the set of people of a village.

c.       The set of even numbers.Þthe set of natural numbers.

                                                      

                                 

   

                                 

province and district of nepal

प्रदेश नं. १
प्रदेश नं. २
प्रदेश नं. ३
प्रदेश नं. ४
प्रदेश नं. ५
प्रदेश नं. ६
प्रदेश नं. ७

Exercise .
1. a) If profit is P% and cost price is C.P. What will be the selling price ?
    b)If loss is L% and cost price is C.P. What will be the selling price ?
    c) If profit is P% and selling price is S.P. What will be the cost price ?
    d)If loss is L% and selling price is S.P. What will be the cost price ?
2. From the table given below, Calculate the unknown variables

	C.P	S.P	Actual profit or loss	profit or loss %
a)	Rs 250	Rs 300	?	?
b)	Rs 640	Rs 608	?	?
c)	Rs 800	?	?	4%(profit)
d)	Rs 250	?	?	10%(loss)
e)	?	Rs 1008	?	5%(profit)
f)	?	Rs 558	?	7%(loss)
g)	?	Rs 448	Rs 48(profit)	?
h)	?	Rs 756	Rs 108(loss)	?
i)	Rs 1200	?	?	2%(profit)
j)	Rs. 980	?	?	5%(loss)

3. a) A shopkeeper purchased an electric fan for Rs. 1560 and sold it at 5% profit. Find his actual profit and selling price of the fan.
    b) Mrs. Chaudhari bought a camera for Rs. 6250. If she sold it at 4% loss, how much was her actual loss ? Find the selling price of the camera.

4. a) A man sells a mobile set for Rs. 5994 at a loss of 7.5%. How much money has he paid to buy the mobile. Also find his loss amount.
    b) Mrs. shrestha sold a "palpali dhaka Topi' for Rs 858 and made a profit of 10 % . Find her buying price of the "dhaka topi". How much is her actual profit ?

5. a) A stationer purchased one dozen of geometry boxes for Rs. 900. If she sold 5 boxes for Rs 390. Find her gain or loss percent on one box.

Mathematics
       This page contain math syllabus under following class and question related to subject. The other part is that each question has its solution but remember one thing , Mathematics is the subject of practicing and hardworking . So i suggest you all to affort three times to solve that question and if it doesnot work then look the solution .
               1. Compulsory Math
                               Class 9
                               Class 8

General Knowledge
          This page specially gives you the information through images and text.
1. Province and districts of Nepal
    नयाँ नेपालको ७ प्रदेश र ७७ जिल्लाहरु
2. The present valleys of nepal with map
     नेपालको नक्सामा उतारिएको नेपालका उपत्यकाहरु
3. The percent of nepal in the world.
    नेपाल पृथ्वीको कुल क्षेत्रफलको कति प्रतिशत छ ?

OTHERS
              It includes biography about popular inventors. The following are the inventor on their related subject.

1	Shree niwas ramanujam in nepali
2	Information about fluid
3	Equation of continuity in euler' s form.
4	Relation between Cartesian (or rectangular) components of stress
5	A uniform solid cylinder is placed with its axis horizontal on a plane, whose inclination    to the horizon is α. Show that the least coefficient of the friction between it and the plane, so that it may roll and not slide, is 1/3 tanα. If the cylinder be hollow and of small thickness, the least value is 1/2 tanα.

Contents

• Arithmetic

1.      Set     a) Introduction to set
                  b) Set operation and venn diagram 
2. Profit and loss
3.  Commission and Taxation
4.  Home arthimetic
5. 
   

श्रीनिवास रामानुजम

गणित शास्त्रका मूर्धन्य विद्वाने श्रीनिवास रामानुजमको जन्म सन् १८८७ डिसेम्बर २२ मा दक्षिण भारतको कोयंबुटरस्थित इरोड गाउँमा साधारण बा्रह्मण परिवारमा भएको थियो । रामानुजमका बाबा कपडा पसलमा लेखापालको नोकरी गर्थे । आमा धर्मकर्ममा ज्यादै रुचि राख्थिन । रामानुजमलाई पनि धर्मकर्ममा रुचि थियो । यसैकारण उनले कलिलो उमेरमा नै वेद, उपनिषद तथा रामायण–महाभारत कण्ठ पारिसकेका थिए ।
रामानुजमले तोते बोलीमा वैदिक ग्रन्थका श्लोकहरु फरर्र भन्दा ठूलाठूला विद्वानसमेत आश्चर्यचकित पर्थे । उनले श्लोकहरुबाट नै गणितका सूत्रहरु बनाउँथे । ती सूत्रहरुबाट गणित हल गर्थे । जोड, घटाउ, गुणन तथा भागका कतिपय गणनाहरु त उनले मौखिक रुपमा नै हल गर्ने गर्थे । उनको यो अदभूत प्रतिभाका कारण सानैदेखि चर्चा फैलिएको थियो ।
रामानुजमले सन् १९०३ मा १० कक्षा उत्तीर्ण गरे । सानैदेखि तीक्ष्ण बुद्धिका धनी श्रीनिवासले अन्य विषयको तुलनामा गणितमा औधी रुचि राख्थे । त्यसैले सधैभरि गणितका समस्या समाधानतिर लागिरहन्थे । गणितका नयाँ–नयाँ सूत्रहरु बनाउथे । त्यसमै घोत्लिन्थे । उनका लागि गणित नै सर्वस्व थियो । तर यो कुरा उनका बाबु–आमालाई पटक्कै मन पर्दैनथ्यो । बाबु–आमा छोराले छिटो इलम गरोस्, पैसा कमाओस् भन्ने चाहन्थे ।
सन् १९०९ मा २२ वर्षको उमेरमा रामानुजमले जानकीदेवीसँग विवाह गरे । अनि सन् १९१३ देखि उनी श्रीमतीसँग मद्रास(हाल चेन्नई) मा बसोबास गर्न थाले । तर त्यहाँ उनलाई ठूलो आर्थिक संकट प¥यो । लेखापालको जागिरले हातमूख जोड्न धौ–धौ भयो । उनले आर्थिक संकट टार्न क्याम्पसका विद्यार्थीलाई ट्युसन पढाउन थाले । त्यहाँ उनका थुप्रै शुभचिन्तक थिए । यसैबीच शुभचिन्तकहरुले रामानुजमलाई क्याम्ब्रिज विश्वविद्यालयका गणित प्रोफेसर जीएच हार्डीसँग पत्राचार गर्न सुझाव दिए । रामानुजमले हार्डीलाई चिठी लेखे ।
चिठीपत्र आदानप्रदानका क्रममा रामानुजमले हार्डीलाई थुप्रै गणितका सूत्र पठाए । तर हार्डीजस्ता गणितका विद्वानले समेत रामानुजमले पठाएका कतिपय गणितका सूत्रहरु बुझ्न सकेनन् । रामानुजमको अदभूत प्रतिभा देखेर हार्डीले उनलाई बेलायत बोलाए । तर रामानुजमलाई बेलायत जाने खासै रुचि थिएन । आर्थिक समस्या पनि थियो । त्यस समय उनलाई मद्रास विश्वविद्यालयबाट शोधवृत्ति पनि मिलेको थियो । जसका कारण पूरा समय उनले शोधकार्यमा लगाउन पाएका थिए ।
 रामानुजम ट्रिनिटी कलेज बेलायतमा.

उता प्रोफेसर हार्डी जसरी पनि रामानुजमलाई बेलायत झिकाउने प्रयासमा थिए । अन्ततः रामानुजमले हार्डीको अनुरोध स्वीकार गरे । रामानुजमको जीवनमा नयाँ मोड आयो । उनले लेखापालको जागिर छोडे । र अप्रिल ७, १९१४ मा बेलायत गए । त्यहाँ गएर क्याम्ब्रिज विश्वविद्यालयको ट्रिनिटी कलेजमा भर्ना भए । पढाइका लागि उनले मद्रास विश्वविद्यालयबाट वर्षको २५० पाउन्ड र कलेज तर्फबाट ६० पाउन्ड छात्रवृत्ति पाउने भए । पाँच वर्षको बेलायत बसाइमा उनले बेलायतका प्रतिष्ठित पत्रिकाहरुमा २१ वटा शोधमूलक लेख तयार गरे । तीमध्ये पाँचवटा हार्डीसँग मिलेर लेखेका थिए ।
सन् १९१८ फेब्रुअरीमा उनी फेलो अफ द रोयल सोसाइटी (एफआरएस) मा निर्वाचित भए । यो बेलायतको उच्च सम्मान हो । यो सम्मान पाउने उनी दोस्रो भारतीय थिए ।त्यसै वर्षको अक्टोबर १३ तारिखमा उनी ट्रिनिटी कलेजको फेलो चुनिए । यो सम्मान पाउने उनी पहिलो भारतीय थिए । यसबापत उनले वर्षको २५० पाउण्ड पाउन थाले ।
रामानुजम गणितमा यति तीक्ष्ण थिए, उनले नजानेका कुनै सूत्र थिएनन् । उनले बनाएका कतिपय गणितीय सूत्र त अझ पनि हल हुन सकेको छैनन् । रामानुजमको यही प्रतिभाको कारण उनको प्रसिद्धि संसारभर फैलिएको थियो । विश्वभर उनका प्रशंसक थिए । प्रोफेसर जीएच हार्डी समेत उनका जबरजस्त प्रशंसक थिए ।
एकपटक विश्वका प्रसिद्ध र विशिष्ट व्यक्तिहरुको मूल्यांकन गर्दा हार्डीले अधिकांश गणितिज्ञहरुलाई १०० मा ३५, ४० अंक दिएका थिए । अन्य विशिष्ट व्यक्तिलाई समेत ५०, ६० अंक दिएका थिए । तर रामानुजमलाई १०० अंक नै दिए ।
रामानुजमले कलिलो उमेरमा नै चमत्कारीक सफलता प्राप्त गर्दै थिए । तर शुद्ध साकाहारी रामानुजमलाई बेलायतको हावापानी, खानपिन तथा रहनसहन उपयुक्त भएन । उनलाई क्षयरोगले छोयो । उत्ति बेला क्षयरोग ज्यादै खतरनाक रोग मानिन्थ्यो ।यसको औषधि थिएन ।
रामानुजम भारत फर्किए । आफ्नो शोधखोजलाई पनि अगाडि बढाए । तर क्षयरोगले उनलाई धेरै दिन बाँच्न दिएन । अन्ततः सन् १९२० अप्रिल २६मा ३३ वर्षको कलिलो उमेरमा यी महान पुरुषको देहान्त भयो । यसरी एक प्रसिद्ध म्याथम्याटिकल माइन्डले आफ्नो भौतिक शरीर छोडेर गए ।
भौतिक रुपमा रामानुजम यस संसारमा छैनन् । तर उनले गणितका क्षेत्रमा गरेको महान् कार्यका कारण उनी अहिले पनि जीवित छन् । रहिरहनेछन् । भारतले रामानुजमको जन्म दिन २२ डिसेम्बरलाई ‘गणित दिवस ’ का रुपमा मनाएर उनलाई सम्झिने गरेको छ ।

नेपालका उपत्यकाहरु

Trigonometric value